Fungsifungsi f(x) = sin x dan g(x) = tan x, keduanya memiliki turunan yang bisa dideferensialkan yakni turunan sin x merupakan f'(x) = cos x dan turunan cos x yaitu g'(x) = sec 2 x. Hal ini bisa dibuktikan dengan mudah yaitu dengan menggunakan rumus f'(x) = limh→0fx+h-f(x)h, sehingga bisa ditentukan rumus turunan fungsi trigonometri. Rumus Turunan GrigonometriBerikut rumus turunan trigonometri1. Jika fx = sin x maka f'x = cos x2. Jika fx = cos x maka f'x = -sin x3. Jika fx = tan x maka f'x = sec²x4. Jika fx = cot x maka f'x = -cosec²x5. Jika fx = sec x maka f'x = sec x6. Jika fx = cosec x maka f'x = -cosec xTurunan Trigonometri – Rumus Turunan Fungsi Trigonometri – Contoh Soal dan Jawaban. Ilustrasi dan sumber foto [Royalty Free]Tips setiap fungsi trigonometri yang hurufnya dimulai dengan huruf c, maka turunannya bernilai Turunan trigonometriTurunan Fungsi Trigonometri adalah turunan yang fungsi sinus dan kosinus, yang di dapat dari konsep limit atau persamaan turunan yang melibatkan fungsi – fungsi trigonometri seperti sin, cos, tan, cot, sec dan y=sin x maka y’ = cos x Jika y=cos x maka y’ = –sin xDari rumus dasar diatas tersebut, diturunkanlah rumus pengembangan, yaitu turunan fungsi tangens, cotangens, secan dan pengembangan rumus tersebut ialahy = tan x maka y’ = sec2x y = cot x maka y’ = – cosec2x y = sec x maka y’ = sec x . tan x y = cosec x maka y’ = – cosec x . tan xMaka, terdapat rumus pengembangan turunan fungsi trigonometri dengan aturan rantai, yaitu sebagai berikut iniMisalkan ux merupakan fungsi yang terdefinisi pada x bilangan real dan fu = sin u, maka untuk y= f [ux] diperoleh y’ = f [ux]. u’x y’= cos uu’y’= u’.cos u Sehingga dengan cara yang sama dapat disimpulkan bahwa jika u merupakan fungsi yang terdefinisi pada bilangan Turunan Fungsi TrigonometriBerikut ini ialah beberapa turunan dasar trigonometri yang harus diketahui sebelum anda memecahkan persoalan turunan trigonometriJika fx= sin x → f x = cos xJika fx= cos x → f x = −sin xJika fx= tan x → f x = sec2 xJika fx= cot x → f x = −csc2xJika fx= sec x → f x = sec x . tan xJika fx= cosec x → f x = −cosec x . cot Rumus Turunan Fungsi Trigonometri 1Misalkan u adalah fungsi yang dapat diturunkan terhadap x, dimana u’ merupakan turunan u terhadap x, makaJika fx= sin u → f x = cos u . u’Jika fx= cos u → f x = −sin u . u’Jika fx= tan u → f x = sec2u . u’Jika fx= cot u → f x = −csc2 u . u’Jika fx= sec u → f x = sec u tan u . u’Jika fx= csc u → f x = −csc u cot u . u’.Perluasan Rumus Turunan Fungsi Trigonometri 2Berikut ini merupakan turunan dari fungsi – fungsi rumus sin cos tan trigonometri dalam variabel sudut ax +b, dimana a dan b adalah bilangan real dengan a≠0 ;Jika fx= sin ax + b → f x = a cos ax + bJika fx= cos ax + b → f x = -a sin ax + bJika fx= tan ax + b → f x = a sec2 ax +bJika fx= cot ax + b → f x = -a csc2 ax+bJika fx= sec ax + b → f x = a tan ax + b . sec ax + bJika fx= csc ax + b → f x = -a cot ax + b . csc ax + bContoh Soal Turunan Trigonometri1. Turunkan fungsi berikut y = 5 sin xPembahasany = 5 sin x y’ = 5 cos x2. Turunan pertama fungsi y = cos 2x³ – x² ialah…A. y’ = sin 2x³ – x²B. y’ = -sin 2x³ – x²C. y’ = 6x² – 2x cos 2x³ – x²D. y’ = 6x² – 2x sin 2x³ – x²E. y’ = -6x² – 2x sin 2x³ – x²Pembahasany = cos 2x³ – x²Misalkan ux = 2x³ – x² maka u'x = 6x² – 2x y = cos ux y’ = -sin ux . u'x y’ = -sin 2x³ – x² . 6x² – 2x y’ = -6x² – 2x.sin2x³ – x²JAWABAN E3. Tentukan turunan pertama dari y = −4 sin xPembahasany = −4 sin x y’ = −4 cos x4. Diberikan y = −2 cos x. Tentukan y’Pembahasan y = −2 cos x y’ = −2 −sin x y’ = 2 sin x5. Jika y = x² sin 3x, maka dy/dx =…A. 2x sin 3x + 2x² cos xB. 2x sin 3x + 3x² cos 3xC. 2x sin x + 3x² cos xD. 3x cos 3x + 2x² sin xE. 2x² cos x + 3x sin 3xPembahasany = x² sin 3x Misalkan ux = x² maka u'x = 2x vx = sin 3x maka v'x = 3 cos 3x y = ux . vx y’ = u'x.vx + ux.v'x = 2x . sin 3x + x². 3 cos 3x = 2x sin 3x + 3x²cos 3x JAWABAN B6. Diketahui fungsi Fx = sin²2x + 3 dan turunan pertama dari F adalah F’. Maka F'x =…A. 4 sin 2x + 3 cos 2x + 3B. -2 sin 2x + 3 cos 2x + 3C. 2 sin 2x + 3 cos 2x + 3D. -4 sin 2x + 3 cos 2x + 3E. sin 2x + 3 cos 2x + 3PembahasanFx = sin²2x + 3 Misalkan ux = sin 2x + 3, maka u'x = cos 2x + 3 . 2 = 2cos 2x + 3 2 berasal dari turunan 2x + 3 Fx = [ux]² F'x = 2[ux]¹ . u'x = 2sin 2x + 3 . 2cos 2x + 3 = 4sin 2x + 3 cos 2x + 3 JAWABAN A7. Diketahui fx = sin³ 3 – 2x. Turunan pertama fungsi f adalah f’ maka f'x =…A. 6 sin² 3 – 2x cos 3 – 2xB. 3 sin² 3 – 2x cos 3 – 2xC. -2 sin² 3 – 2x cos 3 – 2xD. -6 sin 3 – 2x cos 6 – 4xE. -3 sin 3 – 2x sin 6 – 4xPembahasanfx = sin³ 3 – 2x Misalkan ux = sin 3 – 2x, maka u'x = cos 3 – 2x . -2 u'x = -2cos 3 – 2x -2 berasal dari turunan 3-2x fx = [ux]³ f'x = 3[ux]² . u'x f'x = 3sin²3 – 2x . -2cos 3 – 2x = -6 sin²3 – 2x . cos 3 – 2x = -3 . 2 sin 3 -2x.sin 3 -2x.cos 3 – 2x = -3 . sin 3 – 2x. 2 sin 3 – 2x.cos 3 – 2x ingat sin 2x = 2 sin x = -3 sin 3 – 2x sin 23 – 2x = -3 sin 3 – 2x sin 6 – 4x JAWABAN E8. Turunan pertama dari Fx = sin³ 5 – 4x adalah F'x = …A. 12 sin² 5 – 4x cos 5 – 4xB. 6 sin 5 – 4x sin 10 – 8xC. -3 sin² 5 – 4x cos 5 – 4xD. -6 sin 5 – 4x sin 10 – 8xE. -12 sin² 5 – 4x cos 10 – 8xPembahasan Fx = sin³ 5 – 4x Misalkan ux = sin 5 – 4x, maka u'x = cos 5 – 4x . -4 u'x = -4cos 5 – 4x -4 berasal dari turunan 5 – 4x fx = [ux]³ f'x = 3[ux]² . u'x f'x = 3sin²5 – 4x . -4cos 5 – 4x = -12 sin²5 – 4x . cos 5 – 4x = -6 . 2 sin 5 – 4x.sin 5 – 4x.cos 5 – 4x = -6 . sin 5 – 4x. 2 sin 5 – 4x.cos 5 – 4x ingat sin 2x = 2 sin x = -6 sin 5 – 4x sin 25 – 4x = -6 sin 5 – 4x sin 10 – 8x JAWABAN D9. Tentukan y’ dari y = 4 sin x + 5 cos xPembahasany = 4 sin x + 5 cos x y’ = 4 cos x + 5 −sin x y = 4 cos x − 5 sin x10. Tentukan turunan dari y = 5 cos x − 3 sin xPembahasany = 5 cos x − 3 sin x y’ = 5 −sin x − 3 cos x y’ = −5 sin x − cos x11. Tentukan turunan dari y = sin 2x + 5PembahasanDengan aplikasi turunan berantai maka untuky = sin 2x + 5 y = cos 2x + 5 ⋅ 2 → Angka 2 diperoleh dari menurunkan 2x + 5 y’ = 2 cos 2x + 512. Tentukan turunan dari y = cos 3x −1PembahasanDengan aplikasi turunan berantai maka untuky = cos 3x − 1 y = − sin 3x −1 ⋅ 3 → Angka 3 diperoleh dari menurunkan 3x − 1 Hasil akhirnya adalah y’ = − 3 sin 3x − 113. Tentukan turunan dari y = sin2 2x −1PembahasanTurunan berantaiy = sin2 2x −1 y’ = 2 sin 2−1 2x −1 ⋅ cos 2x −1 ⋅ 2 y’ = 2 sin 2x −1 ⋅ cos 2x −1 ⋅ 2 y’ = 4 sin 2x −1 cos 2x −114. Diketahui fx = sin3 3 – 2x Turunan pertama fungsi f adalah f maka f x =…Pembahasanfx = sin3 3 – 2xTurunkan sin3 nya, Turunkan sin 3 – 2x nya, Turunkan 3 – 2x nya,Hasilnya dikalikan semua seperti inifx = sin3 3 – 2x f x = 3 sin 2 3 − 2x ⋅ cos 3 − 2x ⋅ − 2 f x = −6 sin 2 3 − 2x ⋅ cos 3 − 2xSampai sini sudah selesai, namun di pilihan belum terlihat, diotak-atik lagi pakai bentuk sin 2θ = 2 sin θ cos θf x = −6 sin 2 3 − 2x ⋅ cos 3 − 2x f x = −3 ⋅ 2 sin 3 − 2x ⋅ sin 3 – 2x ⋅ cos 3 − 2x f x = −3 ⋅ 2 sin 3 − 2x ⋅ cos 3 – 2x ⋅ sin 3 − 2x _____________________ ↓ sin 2 3 − 2xf x = −3 sin 23 – 2x ⋅ sin 3 − 2x f x = −3 sin 6 – 4x sin 3 − 2x atau f x = −3 sin 3 − 2x sin 6 – 4x15. Diketahui fungsi fx = sin2 2x + 3 dan turunan dari f adalah f ′. Maka f ′x = …PembahasanTurunan berantai fx = sin2 2x + 3 Turunkan sin2 nya, Turunkan sin 2x + 3 nya, Turunkan 2x + 3 nya. f x = 2 sin 2x + 3 ⋅ cos 2x + 3 ⋅ 2 f x = 4 sin 2x + 3 ⋅ cos 2x + 316. Jika fx = sinx+cosxsinx, sin x ≠ 0 dan f’ adalah turunan f, maka f'π2 = …A. -2B. -1C. 0D. 1E. 2Pembahasanfx = sinx+cosxsinx Misalkan * ux = sin x + cos x , maka u'x = cos x – sin x * vx = sin x, maka v'x = cos x fx = uxvx f'x = u′x.vx−ux.v′x[vx]2 = cosx−sinx.sinx−sinx+cosx.cosx[sinx]2 f'π2 = cosπ2−sinπ2.sinπ2−sinπ2+cosπ2.cosπ2[sinπ2]2 f'π2 = 0−1.1−1+0.012 f'π2 = −1−01 f'π2 = -1 JAWABAN B17. Jika f x adalah turunan dari fx dan jika fx = 3x – 2 sin 2x + 1 maka f x adalah…3 cos 2x + 1 6 cos 2x + 1 3 sin 2 x + 1 + 6 x – 4 cos 2 x + 16x – 4 sin 2x + 1 + 3 cos 2x + 1 E. 3 sin 2x + 1 + 3x – 2 cos 2x + 1 .Jawab * fx = 3x – 2 sin2x + 1 kita misalkan terlebih duluu = 3x – 2 maka u’ = 3u = sin 2x + 1 maka u’ = 2 cos2x +1* ingat rumus turunan perkalian dua fungsif'x = u’. u + u’.u= + 1 + 2cos2x +1.3x-2= 3 sin 2x + 1 + 6x – 4 cos 2x +118. Turunan fungsi y = tan x adalah…A. cotan xB. cos² xC. sec² x + 1D. cotan² x + 1E. tan²x + 1Pembahasany = tan x y = sinxcosxMisalkan ux = sin x, maka u'x = cos x vx = cos x, maka v'x = -sin x y = uxvx y = u′x.vx−ux.v′x[vx]2 = = cos2x+sin2xcos2x = sin2x+cos2xcos2x = sin2xcos2x + cos2xcos2x = sinxcosx2 + 1 = tan x² + 1 = tan²x + 1JAWABAN E19. Jika fx = a tan x + bx dan f'π4 = 3, f'π3 = 9, maka a + b = …A. 0B. 1C. π2D. 2E. πPembahasanfx = a tan x + bx f'x = a . 1cos2x + b f'π4 = a . 1cos2π4 + b 3 = a . 1√2/22 + b 3 = 2a + b …………1 f'π3 = a . 1cos2π3 + b 9 = a . 1½2 + b 9 = 4a + b…………..2Eliminasi persamaan 1 dan 2 diperoleh 2a + b = 34a + b = 9 – -2a = -6 a = -6/-2 a = 3 Subtitusi nilai a = 3 ke persamaan 1, diperoleh 23 + b = 3 6 + b = 3 b = 3 – 6 b = -3 Jadi, a + b = 3 + -3 = 0 JAWABAN A20. Jika r = sinθ−−−−√, maka dr/dθ = …A. 12sinθ√B. cosθ2sinθ C. cosθ2sinθ√ D. −sinθ2cosθ E. 2cosθsinθ√Pembahasan Misalkan u = sin θ, maka u’ = cos θ r = sinθ−−−−√ r = u−−√ r = u½ r’ = 12√u . u’ r’ = 12sinθ√ . cos θ r’ = cosθ2sinθ√ JAWABAN C21. Jika fx = -cos² x – sin²x, maka f'x adalah…A. 2sin x – cos x B. 2cos x – sin x C. sin x. cos x D. 2sin x cos x E. 4sin x cos xPembahasan fx = -cos² x – sin²x fx = -1 – sin²x – sin²x fx = -1 – 2sin²x fx = 2sin²x – 1 Misalkan ux = sin x, maka u'x = cos x fx = 2[ux]² – 1 f'x = 4 . ux¹. u'x – 0 f'x = 4 sin x cos x JAWABAN EBacaan LainnyaIntegral Trigonometri – Fungsi Beserta Contoh Soal dan JawabanRumus Trigonometri – Contoh Soal dan Jawaban Kelas 10Rumus Trigonometri Invers Beserta Contoh Soal dan Jawaban arckosinus, arctangen, arckotangen, arcsekan, arckosekanTrigonometri Rumus Sinus, Cosinus, Tangen, Secan, Cosecan, CotangenIntegral Trigonometri – Fungsi Beserta Contoh Soal dan JawabanRumus Trigonometri Dan Contoh-Contoh Soal Beserta JawabannyaRumus Pitagoras Pythagoras – Teorema Pythagoras – Beserta Contoh Soal dan JawabanBidang-Bidang Matematika Besaran, Ruang, Perubahan, Struktur, Dasar dan Filsafat, Diskret, TerapanBarisan Aritmetika dan Deret AritmetikaQuiz gunung tertinggi di Jepang?24 Foto Yang Menunjukkan Mengapa Wisatawan Memilih Kyoto Sebagai Kota Terbaik Di DuniaCara Membeli Tiket Pesawat Murah Secara Online Untuk Liburan Atau BisnisTibet Adalah Provinsi Cina – Sejarah Dan BudayaPuncak Gunung Tertinggi Di Dunia dimana?TOP 10 Gempa Bumi Terdahsyat Di DuniaApakah Matahari Berputar Mengelilingi Pada Dirinya Sendiri?Test IPA Planet Apa Yang Terdekat Dengan Matahari?10 Cara Belajar Pintar, Efektif, Cepat Dan Mudah Di Ingat – Untuk Ulangan & Ujian Pasti Sukses!TOP 10 Virus Paling Mematikan ManusiaPenyebab Dan Cara Mengatasi Iritasi Atau Lecet Pada Daerah Kewanitaan Akibat Pembalut WanitaApakah Produk Pembalut Wanita Aman?Narkoba – Contoh, Jenis, Pengertian, Efek jangka pendek dan panjangKepalan Tangan Menandakan Karakter Anda – Kepalan nomer berapa yang Anda miliki?7 Cara Untuk Menguji Apakah Dia, Adalah Teman Sejati Anda Atau Bukan BFF Best Friend ForeverUnduh / Download Aplikasi HP Pinter PandaiRespons “Ooo begitu ya…” akan lebih sering terdengar jika Anda mengunduh aplikasi kita!Siapa bilang mau pintar harus bayar? Aplikasi Ilmu pengetahuan dan informasi yang membuat Anda menjadi lebih smart!HP AndroidHP iOS AppleSumber bacaan Sciencing, Clark University, SOS MathSumber foto utama Pandai “Bersama-Sama Berbagi Ilmu” Quiz Matematika IPA Geografi & Sejarah Info Unik Lainnya Business & Marketing Dalamkesempatan kali yaitu pada mata pelajaran matematika, kita akan membahas tentang turunan, khususnya soal turunan untuk suatu fungsi pangkat tertentu. Pada tutorial matematika tentang turunan atau differensial kali ini, kita akan fokus pada contoh soal turunan suatu fungsi dengan pangkat tertentu ([f(x)] n = y). pada kesempatan sebelum sudah dibahas tentang materi aturan-aturan turuan dan sekarang akan membahas tentang materi turunan fungsi trigonometri serta pembuktianya menggunakan definisi turunan. Apasih turunan trigonometri itu? Turunan trigonometri adalah persamaan turunan yang melibatkan fungsi-fungsi trigonometri seperti sin, cos, tan, sec, csc, dan cot. Untuk lebih lanjut, mari simak penjelasan berikut ini. 1. Turunan Fungsi sin x Untuk menghitung turunan dari fx = sin x, kita perlu mengkombinasikan limit dengan identitas jumlah sudut untuk fungsi sinus sin x + h = sin x. cos h + cos x. sin h Jika fx = sin x, maka Sehingga, turunan dari fungsi sin x adalah 2. Turunan Fungsi cos x Untuk menghitung turunan dari fx = cos x, kita perlu mengkombinasikan limit dengan identitas jumlah sudut untuk fungsi cosinus cos x + h = cos x. cos h - sin x. sin h Jika fx = cos x, maka Sehingga, turunan dari fungsi cos x adalah 3. Turunan Fungsi tan x Untuk menghitung turunan dari fx = tan x, kita perlu menggunakan aturan-aturan turunan pada hasil bagi/pembagian. Kemudian gunakan turunan fungsi sin x dan cos x yang sudah dicari. Jika fx = tan x, maka Sehingga, turunan dari fungsi tan x adalah 4. Turunan Fungsi sec x Untuk menghitung turunan dari fx = sec x, kita perlu menggunakan aturan-aturan identitas trigonometri dan aturan pembagian dalam turunan. Jika fx = sec x, maka Sehingga, turunan fungsi sec x adalah 5. Turunan Fungsi csc x Caranya sama dengan mencari turunan fungsi sec x, yaitu dengan menggunakan aturan identitas trigonometri csc x dan aturan pembagian turunan Jika fx = csc x, maka Sehingga, turunan dari csc x adalah 6. Turunan Fungsi cot x Ulangi lagi cara yang sama yang dilakukan diatas. yaitu gunakan aturan identitas dan aturan turunan dalam pembagian Jika fx = cot x, maka Sehingga turunan dari fungsi cot x adalah Perluasan Rumus Turunan Fungsi Trigonometri I Berikut ini merupakan turunan dari fungsi- fungsi rumus sin, cos, tan, sec, csc, dan tan dalam variabel sudut ax, dimana a adalah bilangan real dengan a ≠ 0 fx = sin ax, maka f'x = a cos ax fx = cos ax, maka f'x = -a sin ax fx = tan ax, maka f'x = a sec2 ax fx = sec ax, maka f'x = a sec ax. tan ax fx = csc ax, maka f'x = -a csc ax. cot ax fx = cot ax, maka f'x = -a csc2 ax Perluasan Rumus Turunan Fungsi Trigonometri II Berikut ini merupakan turunan dari fungsi – fungsi rumus sin cos tan, sec, csc, dan tan dalam variabel sudut ax + b, dimana a dan b adalah bilangan real dengan a ≠ 0 Jika, fx = sin ax + b, maka f'x = a cos ax + b fx = cos ax + b, maka f'x = -a sin ax + b fx = tan ax + b, maka f'x = a sec2 ax + b fx = sec ax + b, maka f'x = a sec ax + b. tan ax + b fx = csc ax + b, maka f'x = -a csc ax + b. cot ax + b fx = cot ax + b, maka f'x = -a sec2 ax + b Contoh Untuk memahami turunan fungsi trigonometri yang sudah dijelaskan diatas, sebaiknya kita berlatih mengerjakan soal. Silahkan klik link yang sudah saya sediakan {latihan soal turunan fungsi trigonometri}.

Rumusdasar turunan fungsi trigonometri adalah turunan fungsi sinus dan kosinus, yang diperoleh dari konsep limit, yakni sebagai berikut: Jika y = sin x maka y' = cos x Jika y = cos x maka y' = -sin x Dari rumus dasar tersebut, diturunkanlah rumus pengembangan, yakni turunan fungsi tangens, cotangens, secan dan cosecan.

Blog Koma - Pada kesempatan kali ini kita akan melanjutkan pembahasan materi turunan khususnya materi turunan fungsi trigonometri. Sebelumnya juga sudah kita bahas materi "definisi turunan secara umum" dan "turunan fungsi aljabar". Untuk turunan fungsi trigonometri ini, kita akan langsung menggunakan rumus dasar turunan fungsi trigonometri. Sementara untuk pembuktiannya, tetap menggunakan definisi turunan secara umum. Dan juga kita harus mengingat kembali rumus trigonometri pada materi trigonometri sebelumnya. Rumus-rumus Dasar Turunan Fungsi Trigonometri Berikut rumus-rumus dasar turunan fungsi trigonometri i. $ y = \sin x \rightarrow y^\prime = \cos x $ ii. $ y = \cos x \rightarrow y^\prime = -\sin x $ iii. $ y = \tan x \rightarrow y^\prime = \sec ^2 x $ iv. $ y = \cot x \rightarrow y^\prime = -\csc ^2 x $ v. $ y = \sec x \rightarrow y^\prime = \sec x . \tan x $ vi. $ y = \csc x \rightarrow y^\prime = -\csc x . \cot x $ Untuk pembuktiannya ada di bagian paling bawah pada artikel ini. Dan bentuk $ \csc x \, $ sama dengan $ cossec \, x $ . Contoh 1. Tentukan turunan fungsi trigonometri berikut a. $ y = \sin x . \cos x $ b. $ y = \sin x + 1 \tan x - \sec x $ c. $ \begin{align} y = \frac{1 + \cot x }{\sin x + \cos x } \end{align} $ Penyelesaian a. Turunan perkalian fungsi , $ y = \sin x . \cos x $ Misalkan $ U = \sin x \rightarrow U^\prime = \cos x $ dan $ V = \cos x \rightarrow V^\prime = -\sin x $ *. Rumus dasar $ \cos 2x = \cos ^2 x - \sin ^2 x $ *. Menentukan turunannya $ \begin{align} y & = \sin x . \cos x \\ y & = \\ y^\prime & = U^\prime . V + \\ & = \cos x . \cos x + \sin x . -\sin x \\ & = \cos ^2 x - \sin ^2 x \\ & = \cos 2x \end{align} $ Jadi, diperoleh $ y = \sin x . \cos x \rightarrow y^\prime = \cos ^2 x - \sin ^2 x = \cos 2x $ b. Turunan perkalian fungsi , $ y = \sin x + 1 \tan x - \sec x $ Misalkan $ U = \sin x + 1 \rightarrow U^\prime = \cos x $ dan $ V = \tan x - \sec x \rightarrow V^\prime = \sec ^2 x - \sec x . \tan x = \sec x \sec x - \tan x $ *. Menentukan turunannya $ \begin{align} y & = \sin x + 1 \tan x - \sec x \\ y & = \\ y^\prime & = U^\prime . V + \\ & = \cos x . \tan x - \sec x + \sin x + 1 .\sec x \sec x - \tan x \end{align} $ Jadi, diperoleh $ y = \sin x + 1 \tan x - \sec x , \, $ turunannya adalah $ y^\prime = \cos x . \tan x - \sec x + \sin x + 1 .\sec x \sec x - \tan x $ c. Turunan pembagian fungsi , $ \begin{align} y = \frac{1 + \cot x }{\sin x + \cos x } \end{align} $ Misalkan $ U = 1 + \cot x \rightarrow U^\prime = -\csc ^2 x $ dan $ V = \sin x + \cos x \rightarrow V^\prime = \cos x - \sin x $ *. Ingat rumus identitas dan sudut rangkap pada trigonometri, *. Menentukan turunannya $ \begin{align} y & = \frac{1 + \cot x }{\sin x + \cos x } \\ y & = \frac{U}{V} \\ y^\prime & = \frac{U^\prime . V - U. V^\prime}{V^2} \\ & = \frac{-\csc ^2 x . \sin x + \cos x - 1 + \cot x. \cos x - \sin x }{\sin x + \cos x ^2} \\ & = \frac{ -\csc ^2 x \sin x - \csc ^2 x \cos x - \cos x +\sin x - \cot x \cos x + \cot x \sin x }{ \sin ^2 x + \cos ^2 x + 2\sin x \cos x } \\ & = \frac{ - \frac{1}{\sin ^2 x} . \sin x - \csc ^2 x \cos x - \cos x +\sin x - \cot x \cos x + \frac{\cos x}{\sin x} . \sin x }{ 1 + 2\sin x \cos x } \\ & = \frac{ - \frac{1}{\sin x} - \csc ^2 x \cos x - \cos x +\sin x - \cot x \cos x + \cos x }{ 1 + \sin 2x } \\ & = \frac{ - \frac{1}{\sin x} - \csc ^2 x \cos x +\sin x - \cot x \cos x }{ 1 + \sin 2x } \\ & = \frac{ - \csc x - \csc ^2 x \cos x +\sin x - \cot x \cos x }{ 1 + \sin 2x } \end{align} $ Jadi, diperoleh $ \begin{align} y = \frac{1 + \cot x }{\sin x + \cos x } \end{align} \, , $ turunannya adalah $ \begin{align} y^\prime = \frac{ - \csc x - \csc ^2 x \cos x +\sin x - \cot x \cos x }{ 1 + \sin 2x } \end{align} $ Rumus-rumus Turunan Fungsi Trigonometri yang lebih kompleks Berikut rumus-rumus turunan fungsi trigonometri yang lebih kompleks i. $ y = \sin gx \rightarrow y^\prime = g^\prime x . \cos gx $ ii. $ y = \cos gx \rightarrow y^\prime = -g^\prime x .\sin gx $ iii. $ y = \tan gx \rightarrow y^\prime = g^\prime x . \sec ^2 gx $ iv. $ y = \cot gx \rightarrow y^\prime = -g^\prime x. \csc ^2 gx $ v. $ y = \sec gx \rightarrow y^\prime = g^\prime x . \sec gx . \tan gx $ vi. $ y = \csc gx \rightarrow y^\prime = -g^\prime x . \csc gx . \cot gx $ Berikut rumus-rumus turunan fungsi trigonometri yang lebih kompleks dan ada pangkatnya i. $ y = \sin ^{n } gx \rightarrow y^\prime = g^\prime x . n . \sin ^{n-1} gx . \cos gx $ ii. $ y = \cos ^{n } gx \rightarrow y^\prime = -g^\prime x .n. \cos ^{n -1 } gx . \sin gx $ iii. $ y = \tan ^{n } gx \rightarrow y^\prime = g^\prime x . n \tan ^{n - 1 } gx . \sec ^2 gx $ iv. $ y = \cot ^{n } gx \rightarrow y^\prime = -g^\prime x. n. \cot ^{n -1} gx . \csc ^2 gx $ v. $ y = \sec ^{n } gx $ $ \rightarrow y^\prime = g^\prime x . n. \sec ^{n -1 } gx . \sec gx . \tan gx $ vi. $ y = \csc ^{n } gx $ $ \rightarrow y^\prime = -g^\prime x . n.\csc ^{n -1} gx . \csc gx . \cot gx $ Catatan bentuk $ \sin ^{n } gx = [\sin gx ]^n $ Untuk pembuktiannya rumus-rumus turunan fungsi trigonometri yang lebih kompleks ini, kita menggunakan "aturan rantai turunan fungsi". Dari rumus-rumus turunan fungsi trigonometri di atas, untuk memudahkan dalam menentukan turunannya, ingat singkatan "SuPaTri" dengan kepanjangannya "Sudut Pangkat Trigonometri" yang artinya turunkan sudutnya dulu, lalu pangkatnya dan terakhir turunkan trigonometrinya. Jika tidak ada pangkatnya $n$, maka langsung gunakan "SuTri" saja. Contoh 2. Tentukan turunan fungsi trigonometri berikut. a. $ y = \sin 3x^2 + 2x - 5 $ b. $ y = \cot x^2 - x + 7 $ c. $ y = \sec 5x^3 + 9 $ Penyelesaian a. misalkan $ gx = 3x^2 + 2x - 5 \rightarrow g^\prime x = 6x + 2 $ *. Menentukan turunannya. $ \begin{align} y & = \sin 3x^2 + 2x - 5 \\ y & = \sin gx \rightarrow y^\prime = g^\prime x . \cos gx \\ y^\prime & = 6x + 2 . \cos 3x^2 + 2x - 5 \end{align} $ Jadi, turunannya adalah $ y^\prime = 6x + 2 \cos 3x^2 + 2x - 5 $ b. misalkan $ gx = x^2 - x + 7 \rightarrow g^\prime x = 2x-1 $ *. Menentukan turunannya. $ \begin{align} y & = \cot x^2 - x + 7 \\ y & = \cot gx \rightarrow y^\prime = -g^\prime x. \csc ^2 gx \\ y^\prime & = -2x-1 . \csc ^2 x^2 - x + 7 \end{align} $ Jadi, turunannya adalah $ y^\prime = -2x-1 \csc ^2 x^2 - x + 7 $ c. misalkan $ gx = 5x^3 + 9 \rightarrow g^\prime x = 15x^2 $ *. Menentukan turunannya. $ \begin{align} y & = \sec 5x^3 + 9 \\ y & = \sec gx \rightarrow y^\prime = g^\prime x . \sec gx . \tan gx \\ y^\prime & = 15x^2 . \sec 5x^3 + 9 . \tan 5x^3 + 9 \end{align} $ Jadi, turunannya adalah $ y^\prime = 15x^2 \sec 5x^3 + 9 \tan 5x^3 + 9 $ 3. Tentukan turunan fungsi trigonometri berikut a. $ y = \cos ^ 3 2x^3 - 5x + 2 $ b. $ y = \csc ^ 5 x^4 + 5 $ Penyelesaian a. misalkan $ gx = 2x^3 - 5x + 2 \rightarrow g^\prime x = 6x - 5 $ *. Menentukan turunannya. $ \begin{align} y & = \cos ^ 3 2x^3 - 5x + 2 \\ y & = \cos ^{n } gx \\ y^\prime & = -g^\prime x .n. \cos ^{n -1 } gx . \sin gx \\ y^\prime & = -6x-5 . 3 . \cos ^{3 -1 } 2x^3 - 5x + 2 . \sin 2x^3 - 5x + 2 \\ & = -18x-15 \cos ^{2 } 2x^3 - 5x + 2 \sin 2x^3 - 5x + 2 \\ \end{align} $ Jadi, turunannya adalah $ y^\prime = -18x-15 \cos ^{2 } 2x^3 - 5x + 2 \sin 2x^3 - 5x + 2 $ Hasil akhirnya bisa diubah kebentuk lain dengan menggunakan rumus trigonometri sudut rangkap, yaitu $ \sin 2 gx = 2 \sin gx \cos gx \, $ atau $ \sin gx \cos gx = \frac{1}{2} \sin 2 gx \, $ . Proses modifikasi ini biasanya dilakukan untuk soal-soal yang menggunakan sistem pilihan ganda. Jika bentuk pertama tidak ada di pilihan, maka hasilnya kita modifikasi lagi dengan persamaan trigonometri yang ada sehingga jawaban kita ada pada pilihan. *. Kita modifikasi , $ \begin{align} y^\prime & = -18x-15 \cos ^{2 } 2x^3 - 5x + 2 \sin 2x^3 - 5x + 2 \\ & = -18x-15 \cos 2x^3 - 5x + 2 \cos 2x^3 - 5x + 2 \sin 2x^3 - 5x + 2 \\ & = -18x-15 \cos 2x^3 - 5x + 2 [\cos 2x^3 - 5x + 2 \sin 2x^3 - 5x + 2 ] \\ & = -18x-15 \cos 2x^3 - 5x + 2 [\frac{1}{2}.\sin 22x^3 - 5x + 2 ] \\ & = -18x-15 \cos 2x^3 - 5x + 2 [\frac{1}{2}.\sin 4x^3 - 10x + 4 ] \\ & = -\frac{1}{2}18x-15 \cos 2x^3 - 5x + 2 . \sin 4x^3 - 10x + 4 \end{align} $ Sehingga bentuk lain dari turunannya adalah $ y^\prime = -\frac{1}{2}18x-15 \cos 2x^3 - 5x + 2 \sin 4x^3 - 10x + 4 $ b. misalkan $ gx = x^4 + 5 \rightarrow g^\prime x = 4x^3 $ *. Menentukan turunannya. $ \begin{align} y & = \csc ^ 5 x^4 + 5 \\ y & = \csc ^{n } gx \\ y^\prime & = -g^\prime x . n.\csc ^{n -1} gx . \csc gx . \cot gx \\ y^\prime & = -x^4+5 . 5.\csc ^{5 -1} x^4 + 5 . \csc x^4 + 5 . \cot x^4 + 5 \\ & = -5x^4+25 \csc ^{4} x^4 + 5 \csc x^4 + 5 \cot x^4 + 5 \end{align} $ Jadi, turunannya adalah $ y^\prime = -5x^4+25 \csc ^{4} x^4 + 5 \csc x^4 + 5 \cot x^4 + 5 $ 4. Tentukan turunan fungsi trigonometri $ y = \sqrt{ \sin x^2 + 5x - 1 } $ ? Penyelesaian *. Fungsinya $ y = \sqrt{ \sin x^2 + 5x - 1 } \rightarrow y = [\sin x^2 + 5x - 1]^\frac{1}{2} $ misalkan $ gx = x^2 + 5x - 1 \rightarrow g^\prime x = 2x + 5 $ *. Menentukan turunannya. $ \begin{align} y & = \sqrt{ \sin x^2 + 5x - 1 } \rightarrow y = [\sin x^2 + 5x - 1]^\frac{1}{2} \\ y & = \sin ^{n } gx = [\sin gx ]^{n } \\ y^\prime & = g^\prime x . n . [\sin gx ]^{n-1} . \cos gx \\ y^\prime & = 2x + 5 . \frac{1}{2} . [\sin x^2 + 5x - 1 ]^{\frac{1}{2}-1} . \cos x^2 + 5x - 1 \\ & = 2x + 5 . \frac{1}{2} . [\sin x^2 + 5x - 1 ]^{-\frac{1}{2}} . \cos x^2 + 5x - 1 \\ & = 2x + 5 . \frac{1}{2} . \frac{1}{[\sin x^2 + 5x - 1 ]^{\frac{1}{2}}} . \cos x^2 + 5x - 1 \\ & = 2x + 5 . \frac{1}{2} . \frac{1}{ \sqrt{ \sin x^2 + 5x - 1 }} . \cos x^2 + 5x - 1 \\ & = \frac{2x + 5\cos x^2 + 5x - 1 }{ 2\sqrt{ \sin x^2 + 5x - 1 }} \end{align} $ Jadi, turunannya adalah $ y^\prime = \frac{2x + 5\cos x^2 + 5x - 1 }{ 2\sqrt{ \sin x^2 + 5x - 1}} $ 5. Tentukan turunan fungsi trigonometri $ y = \sqrt{ \cos ^ 5 3x^2 - 2x } $ ? Penyelesaian *. Fungsinya $ y = \sqrt{ \cos ^ 5 3x^2 - 2x } \rightarrow y = [\cos 3x^2 - 2x]^\frac{5}{2} $ misalkan $ gx = 3x^2 - 2x \rightarrow g^\prime x = 6x - 2 $ *. Menentukan turunannya. $ \begin{align} y & = \sqrt{ \cos ^ 5 3x^2 - 2x } \rightarrow y = [\cos 3x^2 - 2x]^\frac{5}{2} \\ y & = \cos ^{n } gx = [\cos gx ]^{n } \\ y^\prime & = -g^\prime x . n . [\cos gx ]^{n-1} . \sin gx \\ y^\prime & = -6x-2 . \frac{5}{2} . [\cos 3x^2 - 2x ]^{\frac{5}{2}-1} . \sin 3x^2 - 2x \\ & = -3x-1 . 5 . [\cos 3x^2 - 2x ]^{\frac{3}{2}} . \sin 3x^2 - 2x \\ & = -15x-5 \sqrt{\cos ^3 3x^2 - 2x} \sin 3x^2 - 2x \end{align} $ Jadi, turunannya adalah $ y^\prime = -15x-5 \sqrt{\cos ^3 3x^2 - 2x} \sin 3x^2 - 2x $ Pembuktian Rumus Dasar Turunan Fungsi Trigonometri Untuk membuktikan rumus-rumus dasar turunan fungsi trigonometri di atas, kita menggunakan definisi turunan, yaitu $ f^\prime x = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{fx+ h - fx}{h} \, \, $ jika limitnya ada. $\spadesuit $ Pembuktian rumus $ y = \sin x \rightarrow y^\prime = \cos x $ *. Ingat bentuk $ \sin A+B = \sin A \cos B + \cos A \sin B $ Sehingga $ fx+h = \sin x + h = \sin x \cos h + \cos x \sin h $ *. Rumus $ \cos px = 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} x $ Sehingga $ \cos h = 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} h $ bentuk $ \cos h - 1 = 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} h - 1 = - 2\sin ^2 \frac{1}{2} h = - 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h $ *. Menentukan penyelesaiannya, $ \begin{align} f^\prime x & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{fx+h - fx }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin x \cos h + \cos x \sin h - \sin x }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin x \cos h + \sin x - \cos x \sin h }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin x \cos h - 1 + \cos x \sin h }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin x \cos h - 1 }{h} + \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \cos x \sin h }{h} \\ & = \sin x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \cos h - 1 }{h} + \cos x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} \\ & = \sin x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ - 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h }{h} + \cos x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} \\ & = \sin x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin \frac{1}{2} h }{h} . - 2\sin \frac{1}{2} h + \cos x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} \\ & = \sin x . \frac{1}{2}. - 2\sin \frac{1}{2} 0 + \cos x . 1 \\ & = \sin x . \frac{1}{2}. - 2\sin 0 + \cos x \\ & = \sin x . \frac{1}{2}. 0 + \cos x \\ & = 0 + \cos x \\ & = \cos x \end{align} $ Sehingga terbukti $ y = \sin x \rightarrow y^\prime = \cos x $ $\spadesuit $ Pembuktian rumus $ y = \cos x \rightarrow y^\prime = -\sin x $ *. Ingat bentuk $ \cos A+B = \cos A \cos B - \sin A \sin B $ Sehingga $ fx+h = \cos x + h = \cos x \cos h - \sin x \sin h $ *. Rumus $ \cos px = 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} x $ Sehingga $ \cos h = 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} h $ bentuk $ \cos h - 1 = 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} h - 1 = - 2\sin ^2 \frac{1}{2} h = - 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h $ *. Menentukan penyelesaiannya, $ \begin{align} f^\prime x & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{fx+h - fx }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \cos x \cos h - \sin x \sin h - \cos x }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \cos x \cos h - \cos x - \sin x \sin h }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \cos x \cos h - 1 - \sin x \sin h }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \cos x \cos h - 1 }{h} - \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin x \sin h }{h} \\ & = \cos x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \cos h - 1 }{h} - \sin x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} \\ & = \cos x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ - 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h }{h} - \sin x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} \\ & = \cos x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin \frac{1}{2} h }{h} . - 2\sin \frac{1}{2} h - \sin x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} \\ & = \cos x . \frac{1}{2}. - 2\sin \frac{1}{2} 0 - \sin x . 1 \\ & = \cos x . \frac{1}{2}. - 2\sin 0 - \sin x \\ & = \cos x . \frac{1}{2}. 0 - \sin x \\ & = 0 - \sin x \\ & = -\sin x \end{align} $ Sehingga terbukti $ y = \cos x \rightarrow y^\prime = -\sin x $ $\spadesuit $ Pembuktian rumus $ y = \tan x \rightarrow y^\prime = \sec ^2 x $ *. Ingat Rumus Trigonometri $ \cos A+B = \cos A \cos B - \sin A \sin B $ $ \sin A+B = \sin A \cos B + \cos A \sin B $ Identitas trigonometri $ \cos ^2 x + \sin ^2 x = 1 $ $ \tan A = \frac{\sin A}{\cos A} \, $ dan $ \sec A = \frac{1}{\cos A } $ Sehingga fungsinya $ fx = \tan x $ $ fx+h = \tan x+h = \frac{\sin x+h}{\cos x+h} = \frac{\sin x \cos h + \cos x \sin h}{\cos x \cos h - \sin x \sin h} $ $ fx = \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} $ *. Menentukan penyelesaiannya, $ \begin{align} f^\prime x & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{fx+h - fx }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{\sin x \cos h + \cos x \sin h}{\cos x \cos h - \sin x \sin h} - \frac{\sin x}{\cos x} }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{\cos x\sin x \cos h + \cos x \sin h - \sin x \cos x \cos h - \sin x \sin h }{\cos x \cos x \cos h - \sin x \sin h } }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \cos x \sin x \cos h + \cos ^2 x \sin h - \cos x \sin x \cos h + \sin ^2 x \sin h }{h\cos x \cos x \cos h - \sin x \sin h } \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \cos ^2 x \sin h + \sin ^2 x \sin h }{h\cos x \cos x \cos h - \sin x \sin h } \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \cos ^2 x + \sin ^2 x \sin h }{h\cos x \cos x \cos h - \sin x \sin h } \, \, \, \, \, \text{identitas} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ 1 \sin h }{h\cos x \cos x \cos h - \sin x \sin h } \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h\cos x \cos x \cos h - \sin x \sin h } \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{ \sin h }{h} }{\cos x \cos x \cos h - \sin x \sin h } \\ & = \frac{ \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} }{ \displaystyle \lim_{h \to 0 } \cos x \cos x \cos h - \sin x \sin h } \\ & = \frac{ \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} }{ \displaystyle \lim_{h \to 0 } \cos x \displaystyle \lim_{h \to 0 } \cos x \cos h - \sin x \sin h } \\ & = \frac{ 1 }{ \cos x . \cos x \cos 0 - \sin x \sin 0 } \\ & = \frac{ 1 }{ \cos x . \cos x 1 - \sin x .0 } \\ & = \frac{ 1 }{ \cos x . \cos x - 0 } \\ & = \frac{ 1 }{ \cos x . \cos x } \\ & = \frac{ 1 }{ \cos x } . \frac{ 1 }{ \cos x } \\ & = \sec x . \sec x \\ & = \sec ^2 x \end{align} $ Sehingga terbukti $ y = \tan x \rightarrow y^\prime = \sec ^2 x $ $\spadesuit $ Pembuktian rumus $ y = \cot x \rightarrow y^\prime = -\csc ^2 x $ *. Ingat Rumus Trigonometri $ \cos A+B = \cos A \cos B - \sin A \sin B $ $ \sin A+B = \sin A \cos B + \cos A \sin B $ Identitas trigonometri $ \cos ^2 x + \sin ^2 x = 1 $ $ \cot A = \frac{\cos A}{\sin A} \, $ dan $ \csc A = \frac{1}{\sin A } $ Sehingga fungsinya $ fx = \cot x $ $ fx+h = \cot x+h = \frac{\cos x+h}{\sin x+h} = \frac{\cos x \cos h - \sin x \sin h}{\sin x \cos h + \cos x \sin h} $ $ fx = \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} $ *. Menentukan penyelesaiannya, $ \begin{align} f^\prime x & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{fx+h - fx }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{\cos x \cos h - \sin x \sin h}{\sin x \cos h + \cos x \sin h} - \frac{\cos x}{\sin x} }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{\sin x \cos x \cos h - \sin x \sin h - \cos x \sin x \cos h + \cos x \sin h }{\sin x\sin x \cos h + \cos x \sin h } - \frac{\cos x}{\sin x} }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{ \sin x \cos x \cos h - \sin ^2 x \sin h - \sin x \cos x \cos h - \cos ^2 x \sin h }{\sin x\sin x \cos h + \cos x \sin h } }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{ - \sin ^2 x \sin h - \cos ^2 x \sin h }{\sin x\sin x \cos h + \cos x \sin h } }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{ - \sin ^2 x + \cos ^2 x \sin h }{\sin x\sin x \cos h + \cos x \sin h } }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{ - 1 \sin h }{\sin x\sin x \cos h + \cos x \sin h } - \frac{\cos x}{\sin x} }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{ - \sin h }{\sin x\sin x \cos h + \cos x \sin h } }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} \frac{ - 1 }{\sin x\sin x \cos h + \cos x \sin h } \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ - 1 }{\sin x\sin x \cos h + \cos x \sin h } \\ & = 1. \frac{ - 1 }{\sin x\sin x \cos 0 + \cos x \sin 0 } \\ & = \frac{ - 1 }{\sin x\sin x .1 + \cos x .0 } \\ & = \frac{ - 1 }{\sin x\sin x } \\ & = -\frac{ 1 }{\sin x } . \frac{ 1 }{\sin x } \\ & = - \csc x . \csc x \\ & = - \csc ^2 x \end{align} $ Sehingga terbukti $ y = \cot x \rightarrow y^\prime = -\csc ^2 x $ $\spadesuit $ Pembuktian rumus $ y = \sec x \rightarrow y^\prime = \sec x \tan x $ *. Ingat Rumus Trigonometri $ \cos A+B = \cos A \cos B - \sin A \sin B $ $ \tan A = \frac{\sin A}{\cos A} \, $ dan $ \sec x A = \frac{1}{\cos A } $ Sehingga fungsinya $ fx = \sec x $ $ fx+h = \sec x+h = \frac{1}{\cos x+h} = \frac{1}{\cos x \cos h - \sin x \sin h} $ $ fx = \sec x = \frac{1}{\cos x} $ *. Rumus $ \cos px = 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} x $ Sehingga $ \cos h = 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} h $ bentuk $ 1 - \cos h = 1 - 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} h = 2\sin ^2 \frac{1}{2} h = 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h $ *. Menentukan penyelesaiannya, $ \begin{align} f^\prime x & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{fx+h - fx }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{1}{\cos x \cos h - \sin x \sin h} - \frac{1}{\cos x} }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{\cos x - \cos x \cos h - \sin x \sin h }{\cos x \cos x \cos h - \sin x \sin h } }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{\cos x - \cos x \cos h + \sin x \sin h }{\cos x \cos x \cos h - \sin x \sin h } }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{\cos x 1 - \cos h + \sin x \sin h }{\cos x \cos x \cos h - \sin x \sin h } }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{\cos x . 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h + \sin x \sin h }{\cos x \cos x \cos h - \sin x \sin h } }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{ \cos x . 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h + \sin x \sin h }{h} }{\cos x \cos x \cos h - \sin x \sin h } \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{ \cos x . 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h }{h} + \frac{ \sin x \sin h }{h} }{\cos x \cos x \cos h - \sin x \sin h } \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \cos x . 2\sin \frac{1}{2} h \frac{ \sin \frac{1}{2} h }{h} + \frac{ \sin x \sin h }{h} }{\cos x \cos x \cos h - \sin x \sin h } \\ & = \frac{ \displaystyle \lim_{h \to 0 } \cos x . 2\sin \frac{1}{2} h \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin \frac{1}{2} h }{h} + \displaystyle \lim_{h \to 0 } \sin x \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} }{ \displaystyle \lim_{h \to 0 } \cos x \cos x \cos h - \sin x \sin h } \\ & = \frac{ \cos x . 2 \sin \frac{1}{2} .0 . \frac{1}{2} + \sin x . 1 }{ \cos x \cos x \cos 0 - \sin x \sin 0 } \\ & = \frac{ \cos x . 2 \sin 0 . \frac{1}{2} + \sin x }{ \cos x \cos x . 1 - \sin x . 0 } \\ & = \frac{ \cos x . 2 0 . \frac{1}{2} + \sin x }{ \cos x \cos x - 0 } \\ & = \frac{ 0 + \sin x }{ \cos x \cos x } \\ & = \frac{ 1 }{ \cos x } . \frac{ \sin x }{ \cos x } \\ & = \sec x \tan x \end{align} $ Sehingga terbukti $ y = \sec x \rightarrow y^\prime = \sec x \tan x $ $\spadesuit $ Pembuktian rumus $ y = \csc x \rightarrow y^\prime = -\csc x \cot x $ *. Ingat Rumus Trigonometri $ \sin A+B = \sin A \cos B + \cos A \sin B $ $ \cot A = \frac{\cos A}{\sin A} \, $ dan $ \csc x A = \frac{1}{\sin A } $ Sehingga fungsinya $ fx = \csc x $ $ fx+h = \csc x+h = \frac{1}{\sin x+h} = \frac{1}{\sin x \cos h + \cos x \sin h} $ $ fx = \csc x = \frac{1}{\sin x} $ *. Rumus $ \cos px = 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} x $ Sehingga $ \cos h = 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} h $ bentuk $ 1 - \cos h = 1 - 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} h = 2\sin ^2 \frac{1}{2} h = 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h $ *. Menentukan penyelesaiannya, $ \begin{align} f^\prime x & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{fx+h - fx }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{1}{\sin x \cos h + \cos x \sin h} - \frac{1}{\sin x} }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{\sin x - \sin x \cos h + \cos x \sin h }{\sin x \sin x \cos h + \cos x \sin h } }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{\sin x - \sin x \cos h - \cos x \sin h }{\sin x \sin x \cos h + \cos x \sin h } }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{\sin x 1 - \cos h - \cos x \sin h }{\sin x \sin x \cos h + \cos x \sin h } }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{\sin x 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h - \cos x \sin h }{\sin x \sin x \cos h + \cos x \sin h } }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{ \sin x 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h - \cos x \sin h }{h} }{\sin x \sin x \cos h + \cos x \sin h } \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{ \sin x 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h }{h} - \frac{ \cos x \sin h }{h} }{\sin x \sin x \cos h + \cos x \sin h } \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin x 2\sin \frac{1}{2} h . \frac{ \sin \frac{1}{2} h }{h} - \cos x \frac{ \sin h }{h} }{\sin x \sin x \cos h + \cos x \sin h } \\ & = \frac{ \displaystyle \lim_{h \to 0 } \sin x 2\sin \frac{1}{2} h . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin \frac{1}{2} h }{h} - \displaystyle \lim_{h \to 0 } \cos x \displaystyle \lim_{h \to 0 }\frac{ \sin h }{h} }{ \displaystyle \lim_{h \to 0 } \sin x \sin x \cos h + \cos x \sin h } \\ & = \frac{ \sin x 2\sin \frac{1}{2} . 0 . \frac{1}{2} - \cos x . 1 }{ \sin x \sin x \cos 0 + \cos x \sin 0 } \\ & = \frac{ \sin x 2\sin 0 . \frac{1}{2} - \cos x }{ \sin x \sin x . 1 + \cos x . 0 } \\ & = \frac{ \sin x 2 . 0 . \frac{1}{2} - \cos x }{ \sin x \sin x + 0 } \\ & = \frac{ 0 - \cos x }{ \sin x \sin x } \\ & = \frac{ - \cos x }{ \sin x \sin x } \\ & = - \frac{ 1 }{ \sin x } . \frac{ \cos x }{ \sin x } \\ & = - \csc x \cot x \end{align} $ Sehingga terbukti $ y = \csc x \rightarrow y^\prime = -\csc x \cot x $ Catatan nilai $ \sin 0 = 0 \, $ dan $ \, \cos 0 = 1 $ Pembuktian Rumus Turunan Fungsi Trigonometri kompleks Untuk pembuktian rumus turunan fungsi trigonometri yang lebih kompleks, kita menggunakan aturan rantai turunan fungsi. $\spadesuit $ Pembuktian rumus $ y = \sin gx \rightarrow y^\prime = g^\prime x \cos gx $ *. Permisalan $ z = gx \rightarrow \frac{dz}{dx} = g^\prime x $ $ y = \sin gx = \sin z \rightarrow \frac{dy}{dz} = \cos z $ *. Menentukan penyelesaiannya, $ \begin{align} y & = \sin gx \\ y^\prime & = \frac{dy}{dx} \\ & = \frac{dy}{dz} . \frac{dz}{dx} \\ & = \cos z . g^\prime x \\ & = g^\prime x \cos z \\ & = g^\prime x \cos gx \end{align} $ Sehingga terbukti $ y = \sin gx \rightarrow y^\prime = g^\prime x \cos gx $ $\spadesuit $ Pembuktian rumus $ y = \sin ^{n } gx \rightarrow y^\prime = g^\prime x . n . \sin ^{n-1} gx . \cos gx $ *. Permisalan $ y = \sin ^{n } gx = [\sin gx ]^n $ $ z = gx \rightarrow \frac{dz}{dx} = g^\prime x $ $ p = \sin gx = \sin z \rightarrow \frac{dp}{dz} = \cos z = \cos gx $ $ y = [\sin gx ]^n = [ p ]^n \rightarrow \frac{dy}{dp} = n . p ^ {n-1} = n . [ \sin gx ]^{n-1} = n. \sin ^{n-1} gx $ *. Menentukan penyelesaiannya, $ \begin{align} y & = \sin ^{n } gx = [\sin gx ]^n \\ y^\prime & = \frac{dy}{dx} \\ & = \frac{dy}{dp} . \frac{dp}{dz} . \frac{dz}{dx} \\ & = n. \sin ^{n-1} gx . \cos gx . g^\prime x \\ & = g^\prime x . n. \sin ^{n-1} gx . \cos gx \end{align} $ Sehingga terbukti $ y = \sin ^{n } gx \rightarrow y^\prime = g^\prime x . n . \sin ^{n-1} gx . \cos gx $ Catatan untuk pembuktian yang lainnya caranya hampir sama dengan aturan rantai di atas. Berikutini adalah beberapa turunan dasar trigonometri yang wajib diketahui sebelum anda memecahkan persoalan turunan trigonometri: 1. f (x) = sin x → f ' (x) = cos x. 2. f (x) = cos x → f ' (x) = −sin x. 3. f (x) = tan x → f ' (x) = sec2 x. 4. f (x) = cot x → f ' (x) = −csc2x. 5. f (x) = sec x → f ' (x) = sec x . tan x. Contohsoal integral trigonometri berpangkat kumpulan koleksi. Dx = arc sec x + c. Karena integral merupakan anti turunan maka proses diatas dapat kita balik menjadi sebagai berikut : Selain rumus dasar integral di atas dalam mengintegralkan fungsi trigonometri juga digunakan identitas trigonometri.
Fungsitrigonometri 1 sin csc 1 cos sec 1 tan cot T T T T T T 1 csc sin 1 sec cos 1 cot tan T T T T T T sin tan cos cos cot sin T T T T T T. SUDUT ISTIMEWA Grafik y = 2 sin x, 0 0≤ X ≤ 360 Grafik Fungsi Trigonometri X 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

05 Fungsi dan Grafiknya; 0.6 Operasi pada Fungsi; 0.7 Fungsi Trigonometri; Limit. 1.1 Pendahuluan Limit; 1.2 Lebih Lanjut tentang Limit; 1.3 Teorema Limit; 1.4 Limit Fungsi Trigonometri; 1.5 Limit di Tak-hingga; 1.6 Kontinuitas Fungsi; Turunan; Integral. Pendahuluan Integral; 2.0 Manfaat Dan Aplikasi; 2.1 Definisi Integral; 2.2 Teorema Dasar

Turunandari Sin x. Jika sin y 05 hitunglah y jika y 90o. Limit tak hingga fungsi trigonometri ini ternyata soalnya dikeluarkan pada sbmptn 2017 matematika ipa atau demikian pembahasan materi limit tak hingga fungsi trigonometri dan contohnya. Fungsi trigonometri yang biasa digunakan yaitu sin x cos x dan tan x. Turunanfungsi trigonometri - Banyak permasalahan sehari-hari yang menggunakan konsep turunan fungsi dalam penyelesaiannya, b.Turunan Fungsi Secan Jika f(x) = sec x, maka f'(x) = tan x . sec x [Pembuktian] c.Turunan Fungsi Trigonometri Cotangen. Jika f(x) = cot x, maka, .
  • 4bnldsdgkk.pages.dev/207
  • 4bnldsdgkk.pages.dev/164
  • 4bnldsdgkk.pages.dev/292
  • 4bnldsdgkk.pages.dev/437
  • 4bnldsdgkk.pages.dev/43
  • 4bnldsdgkk.pages.dev/353
  • 4bnldsdgkk.pages.dev/397
  • 4bnldsdgkk.pages.dev/35

    • turunan fungsi trigonometri sec x